Relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

Las funciones trigonométricas surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados dependen únicamente del valor de los ángulos del triángulo.

La denominación de los lados de un triángulo rectángulo son las siguientes:
* La hipotenusa (h) corresponde al lado que se encuentra opuesto al ángulo recto.
* El cateto opuesto (a) corresponde al lado opuesto al ángulo que se quiere establecer.
* El cateto adyacente (b) corresponde al lado que es adyacente al ángulo que se busca establecer.

Si se considera los triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, tenemos que

con <B =60* y <C =30*

Todos los triángulos representados con estos ángulos serán semejantes, por lo cual, las medidas de sus lados serán proporcionales:

Esto quiere decir que si se procede a calcular el primer triángulo AC/BC se obtendrá como resultado el mismo que hubiera sido si calculáramos en el triángulo segundo el cociente A’C’/B’C’.

En un triángulo rectángulo se puede definir como seno de un ángulo agudo al valor que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Definimos el coseno de un ángulo agudo como valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Definimos como tangente de un ángulo agudo al valor del cociente que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA

Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para un ángulo cualquiera, se da lugar a la concepción de las funciones trigonométricas.

A continuación veremos la definición de las funciones trigonométricas:

• El seno corresponde a la relación que se encuentra entre la longitud del cateto opuesto e hipotenusa: Sin a = opuesto / hipotenusa = a/h

• La relación entre la longitud de la hipotenusa con la del cateto adyacente corresponde al coseno de un ángulo, veamos: Cosa = adyacente / hipotenusa = b/h

• La tangente de un ángulo corresponde a la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: Tan a = opuesto / adyacente = a/b

• La relación entre la longitud del cateto adyacente y la del cateto opuesto es lo que llamamos cotangente. Cot a = adyacente / opuesto = b/a

• La secante de un ángulo corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa. Sec a = hipotenusa / adyacente = h/b

• La relación entre la longitud de la hipotenusa y cateto opuesto es la cosecante.                         Csc a = hipotenusa / opuesto = h/a

Razones trigonométricas

La trigonometría es la rama de matemática que se encarga de estudiar las relaciones entre los lados de los triángulos así como la relación de sus ángulos. Para los cálculos en trigonometría usualmente se emplean las llamadas razones trigonométricas.

Una razón trigonométrica es una razón, o podemos decir también una relación de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas habitualmente más usadas son el seno, el coseno y la tangente. En general aparecen abreviadas como sen cos y tan.

Hay también entre las razones trigonométricas, que son aquellas que son recíprocas, esto quiere decir que son recíprocas al seno, coseno y tangente. Se definen estas razones como la secante, la cosecante y la cotangente.
La cosecante es la razón recíproca del seno, o también su opuesto multiplicativo. Se abrevia como csc o cosec. Observemos entonces la siguiente fórmula.

La secante es la razón recíproca del coseno o también su opuesto multiplicativo. Se abrevia como sec.

La cotangente es la razón recíproca de la tangente o su opuesto multiplicativo. Se abrevia como cot o cta.

Razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Este concepto tiene diversas aplicaciones en la economía, la física y la biología. Siempre que dos variables (magnitudes) están conectadas mediante una relación funcional, se puede estudiar el cambio relativo de una de las variables respecto de la otra; es decir, se pueden determinar y analizar las razones de cambio del fenómeno. Algunas razones de cambio debido a su importancia se han identificado con nombres especiales, por ejemplo, la razón de cambio de una población respecto al tiempo se llama tasa de crecimiento; la razón de cambio de la temperatura de un líquido se llama velocidad de enfriamiento o calentamiento; la razón de cambio de la distancia en relación con el tiempo se llama velocidad; la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo se llama aceleración. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:

La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses del año. ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo, suponiendo que fue el mismo cada mes? En este caso, el incremento en el precio del artículo respecto al tiempo es la razón de cambio. En la gráfica el cambio en el precio se indica en la dirección vertical y el cambio en el tiempo en la dirección horizontal. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de centralización. Rango o recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos. Aunque el rango da una información importante, resulta más interesante calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media. Desviación media, es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los diferentes datos.